MEDIA ARITMÉTICA:
Es la suma de todos los valores de la variable dividida
entre el número total de elementos.
Datos no agrupados
Datos agrupados
NOTA: A la media aritmética se la denomina
también CENTRO DE
GRAVEDAD de la distribución
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA:
En ocasiones no todos los valores de
la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada
variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un
aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.
Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la
variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o
repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las
ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la
variable con respecto a la media aritmética es 0.
PROPIEDAD 2: La media
aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable
con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante
coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING).
PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una
misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad:
Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media.
PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican
por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha
constante . La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.
NOTA: De las dos propiedades anteriores se deduce que la resta y
la división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4
respectivamente.
PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden obtener 2 ó más subconjuntos disjuntos, la
media aritmética del conjunto se
relaciona con la media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de
la siguiente forma
IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la media aritmética es muy
sensible a los valores extremos, es decir,
a valores numéricos muy diferentes, (tanto por lo grandes, o pequeños
que sean), al resto de la muestra. Esto puede resultar un problema. Hay formas
de resolverlo, que veremos más adelante.
MEDIANA: Me.-
La mediana o valor mediano será el valor de la
variable que separa en dos grupos los valores de las variables, ordenadas de
menor a mayor. Por tanto es una cantidad que nos indica orden dentro de la
ordenación.
Datos No agrupados: En los datos ordenados se aplica la siguiente
relación, para encontrar la posición de los datos
Datos agrupados, hay que determinar el intervalo mediano
ii LL ,1 , la forma de hacerlo será calcular el valor de la mitad
de n, y observar que intervalo tiene una frecuencia absoluta acumulada que
cumpla i i N nN 2 1
LAMODA(MO.)
A veces es importante conocer cuál es el valor que
más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia
se le conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente
útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.
En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número
que ocurre con más frecuencia
La Moda para datos agrupados (Mo.):
La Moda puede deducirse de una distribución de frecuencia o de un
histograma a partir de la fórmula.
Mo. = Li + [ ( ∆1 / ∆1+∆2 ) ] C
Donde;
Li = límite inferior de la clase modal (clase de mayor frecuencia
absoluta (fa)
∆1 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y
premodal.
∆2 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y
postmodal
C = amplitud de la clase modal
La moda se puede determinar en
todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa). La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.
Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos
abiertos.
Desventajas de la moda
- En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor
aparece más de una vez. - En algunas series de datos hay más de una moda, en
este caso uno podría preguntarse ¿cuál es el valor representativo de la serie
de datos?
Relación empírica entre la media, la mediana y la moda En
distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden,
localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente
asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente:
Media – Moda = 3(Media – Mediana
Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas
de
frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para para curvas simétricas los tres valores
coinciden
LA MEDIA ARMÓNICA
denominada H, de una cantidad finita de números
es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de
dichos valores y es recomendada para promedia velocidades.
La media armónica resulta poco influida por la existencia de
determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en
cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de que exista algún
valor nulo.
Propiedades
1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los
inversos de los valores de la variable. 2. Siempre se puede pasar de una media
armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos. 3. La
media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para
cualesquiera números reales positivos :
Ventaja
Considera todos los valores de la
distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.
Desventajas
La influencia de los valores
pequeños y El hecho que no se puede determinar
en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es
aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.
Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos,
rendimientos, etc
LA MEDIA GEOMÉTRICA
Se define como la raíz de índice de la
frecuencia total cuyo radicando es el producto de las potencias de cada valor
de la variable elevado a sus respectivas frecuencias absolutas, se denota por g; suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una
progresión geométrica. También para promediar porcentajes, tasas, nº índices,
etc. siempre que nos vengan dados en porcentajes
PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMÉTRICA
La media geométrica esta basada en
todas las observaciones, por lo que está afectada por todos los
valores de la variable. Sin embargo, da menos pesos a los valores
extremadamente grandes que el que les da la media aritmética. La media geométrica es igual a cero si algunos de los valores es
cero, y se puede volver imaginaria si ocurren valores negativos. Con la
excepción de estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está rígidamente
definido. La media geométrica es la que se
debe utilizar cuando lo que se va a promediar son tasas de cambios o
proporciones, y se intenta dar igual peso a tasas de cambios iguales.
También puede calcularse la media geométrica ponderada.
MEDIA CUADRÁTICA (MC).-
La media cuadrática nació con el objetivo
de poder obtener el promedio de valores positivos y negativos al mismo tiempo,
además de ser una gran ayuda para poder calcular las dispersiones promedio de
los datos (ver medidas de dispersión).
