6.1 .MEDIDA ARITMÉTICA

MEDIA ARITMÉTICA: 

Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de elementos.

Datos no agrupados

Datos agrupados

NOTA: A la media aritmética se la denomina también CENTRO DE

GRAVEDAD de la distribución

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: 

En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.

Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA

PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es 0.

PROPIEDAD 2:  La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING).

PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad: Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media.

PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante . La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.

NOTA: De las dos propiedades anteriores se deduce que la resta y la división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4 respectivamente.

PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden  obtener 2 ó más subconjuntos disjuntos, la media aritmética  del conjunto se relaciona con la media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de la siguiente forma

IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la media aritmética es muy sensible a los valores extremos, es decir,  a valores numéricos muy diferentes, (tanto por lo grandes, o pequeños que sean), al resto de la muestra. Esto puede resultar un problema. Hay formas de resolverlo, que veremos más adelante.

MEDIANA: Me.-
 La mediana o valor mediano será el valor de la variable que separa en dos grupos los valores de las variables, ordenadas de menor a mayor. Por tanto es una cantidad que nos indica orden dentro de la ordenación.

Datos No agrupados: En los datos ordenados se aplica la siguiente relación, para encontrar la posición de los datos

Datos agrupados, hay que determinar el intervalo mediano 

  ii LL ,1 , la forma de hacerlo será calcular el valor de la mitad de n, y observar que intervalo tiene una frecuencia absoluta acumulada que cumpla i i N nN   2 1

LAMODA(MO.)

A veces es importante conocer cuál es el valor que más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.

En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que ocurre con más frecuencia

La Moda para datos agrupados (Mo.):

La Moda puede deducirse de una distribución de frecuencia o de un histograma a partir de la fórmula.

Mo. = Li + [ ( ∆1 / ∆1+∆2 ) ] C

Donde;

Li = límite inferior de la clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta (fa)

∆1 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y premodal.

∆2 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y postmodal

C = amplitud de la clase modal

Propiedades de la moda

 La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).  La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.  Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos.

Desventajas de la moda

- En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez. - En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cuál es el valor representativo de la serie de datos?

Relación empírica entre la media, la mediana y la moda En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente:

Media – Moda = 3(Media – Mediana

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de

frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para  para curvas simétricas los tres valores coinciden

LA MEDIA ARMÓNICA

 denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promedia velocidades.

La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

Propiedades

1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. 2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos. 3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera números reales positivos :

Ventaja

 Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más representativa que la media aritmética.

Desventajas

 La influencia de los valores pequeños y  El hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeños.

Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc

LA MEDIA GEOMÉTRICA

 Se define como la raíz de índice de la frecuencia total cuyo radicando es el producto de las potencias de cada valor de la variable elevado a sus respectivas frecuencias absolutas, se denota por g; suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una progresión geométrica. También para promediar porcentajes, tasas, nº índices, etc. siempre que nos vengan dados en porcentajes

PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMÉTRICA 

 La media geométrica esta basada en todas las observaciones, por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Sin embargo, da menos pesos a los valores extremadamente grandes que el que les da la media aritmética.  La media geométrica es igual a cero si algunos de los valores es cero, y se puede volver imaginaria si ocurren valores negativos. Con la excepción de estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está rígidamente definido.  La media geométrica es la que se debe utilizar cuando lo que se va a promediar son tasas de cambios o proporciones, y se intenta dar igual peso a tasas de cambios iguales.

Datos No Agrupados:

Datos Agrupados:

También puede calcularse la media geométrica ponderada.

MEDIA CUADRÁTICA (MC).- 

La media cuadrática nació con el objetivo de poder obtener el promedio de valores positivos y negativos al mismo tiempo, además de ser una gran ayuda para poder calcular las dispersiones promedio de los datos (ver medidas de dispersión).